Resumo TI Banco de Dados: Operadores da Álgebra Relacional – União, Interseção e Diferença

O resumo anterior cobriu os operadores unários — seleção e projeção, que atuam sobre uma única relação. Agora entram os operadores binários herdados diretamente da teoria de conjuntos: união (∪), interseção (∩) e diferença (−). Os três combinam duas relações ao mesmo tempo, mas só podem ser aplicados quando essas relações atendem a um requisito estrutural específico — a exigência mais cobrada em prova sobre esse trio.

Neste resumo, você vai entender o que é união-compatibilidade (o requisito que libera o uso desses três operadores), por que união e interseção são comutativas, mas diferença não é, e a propriedade clássica que permite expressar interseção usando só o operador diferença.

🧩 União-compatibilidade

Antes de aplicar união, interseção ou diferença entre duas relações R e S, elas precisam ser união-compatíveis (também chamada de “compatibilidade de tipo”): mesmo grau (o mesmo número de atributos) e, posição a posição, domínios compatíveis entre os atributos correspondentes de R e S. Os nomes das colunas não precisam ser idênticos — o que importa é o número de atributos e o domínio de cada posição baterem; por convenção, o esquema do resultado herda os nomes de atributos de R.

➕ União (∪)

R ∪ S retorna todas as tuplas que estão em R, em S, ou em ambas — sem repetição, já que o resultado é uma relação (conjunto). A cardinalidade do resultado é, no máximo, |R| + |S|, podendo ser menor por causa das tuplas duplicadas (presentes nas duas relações) que são eliminadas.

✖️ Interseção (∩)

R ∩ S retorna apenas as tuplas que aparecem simultaneamente em R e em S. A cardinalidade do resultado é, no máximo, o menor entre |R| e |S| (nunca pode ter mais tuplas em comum do que a menor das duas relações contém).

➖ Diferença (−)

R − S retorna as tuplas que estão em R, mas não estão em S. A cardinalidade do resultado é, no máximo, |R|. Este é o único dos três operadores que não é comutativo: R − S geralmente é diferente de S − R — o primeiro remove de R o que também está em S, o segundo remove de S o que também está em R, e não há razão para esses dois conjuntos resultantes serem iguais.

🔁 Interseção via diferença

Uma propriedade clássica e cobrada com frequência: a interseção pode ser expressa inteiramente em termos de diferença, sem usar o símbolo ∩ diretamente: R ∩ S = R − (R − S). A lógica: R − S são as tuplas de R que não estão em S; subtrair esse resultado de R novamente devolve exatamente as tuplas de R que estão em S — ou seja, a interseção. Essa equivalência mostra que a interseção não é, a rigor, um operador “primitivo” independente: ela pode ser derivada dos operadores fundamentais (união, diferença, produto cartesiano, seleção e projeção), sendo incluída no conjunto de operadores da álgebra relacional só por conveniência de notação.

⚠️ Pegadinhas comuns

• União-compatibilidade não exige nomes de coluna iguais: exige mesmo grau e domínios compatíveis por posição — nomes diferentes não impedem a operação;
• União e interseção são comutativas; diferença não é: R ∪ S = S ∪ R e R ∩ S = S ∩ R sempre valem, mas R − S = S − R só vale no caso particular em que R e S são iguais;
• Os três operadores também eliminam duplicatas por definição teórica (a relação resultado é um conjunto), na mesma lógica já vista na projeção — os operadores de conjunto do SQL (UNION, INTERSECT, EXCEPT/MINUS) seguem essa mesma regra por padrão, ao contrário do SELECT simples, que não elimina duplicatas sem DISTINCT. Vale notar que nem todo SGBD sempre ofereceu os três operadores prontos: o MySQL, por exemplo, só passou a suportar INTERSECT e EXCEPT nativamente em versões mais recentes (8.0.31+);
• Não confundir com produto cartesiano: união, interseção e diferença exigem que as duas relações tenham o mesmo grau; produto cartesiano (próximo resumo) faz o oposto — combina relações de graus diferentes, sem exigir união-compatibilidade.

🎯 Dica Final para a Prova

Antes de aplicar qualquer um dos três operadores numa questão, confirme mentalmente a união-compatibilidade (mesmo grau, domínios compatíveis por posição) — é o pré-requisito que a banca mais testa antes mesmo de perguntar sobre o resultado da operação em si. E memorize a única quebra de simetria do grupo: união e interseção comutam, diferença não.

✓ Agora que você domina os operadores de conjunto, o próximo passo é ver os operadores que combinam relações sem exigir união-compatibilidade: produto cartesiano e as junções.

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📘 União e interseção são comutativas, diferença não — e essa única exceção é justamente o detalhe mais cobrado do trio. Continue estudando!